Question

如圖，AB是圓O的直徑，AB=2，弦AC=

3

，若D為圓上一點，且AD=1，則∠DAC=

 

．

Answer 1

分析：連接AD，OD，BC，先證明△OAD是等邊三角形，利用AB是圓O的直徑求得∠C=90°，利用直角三角形中的三角函數可求得∠CAB=30°，點D的位置有兩種情況：①當點D在AB的下方的圓弧上，②當點D在AB的上方的圓弧上，分別計算即可．

解答：解：如圖，連接AD，OD，BC
∵AO=OB=OD，AB=2，AD=1
∴OA=OD=AD
∴△OAD是等邊三角形，∠BAD=60°，AB是圓O的直徑
∴∠C=90°
∵AB=2，AC=

3

∴cos∠CAB=

AC

AB

=

3

2

∴∠CAB=30°
點D的位置有兩種情況：
①當點D在AB的下方的圓弧上時，∠CAD=∠CAB+∠OAD=30°+60°=90°；
②當點D在AB的上方的圓弧上時，∠CAD=∠OAD-∠CAB=60°-30°=30°．

點評：本題利用了：等邊三角形的判定和性質，直徑所對的圓周角是直角，余弦的概念，注意點D的位置有兩種情況．