Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=2，點E是AB邊上一動點（點E不與點A、B重合），連接ED，過ED的中點F作ED的垂線，交AD于點G，交BC于點K，過點K作KM⊥AD于M．
（1）當E為AB中點時，求的值；
（3）若，則的值等于______；
（6）若（n為正整數），
則的值等于______（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接GE，根據垂直平分線的性質和已知條件證明△KMG≌△DAE，設GE=GD=x，在Rt△AEG中，利用勾股定理求出x的值，因為DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，進而求出的值；
（2）根據，得出AE=，由勾股定理得（2-x）²+（）²=x²，因為DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，進而求出的值；
（3）根據，得出AE=，由勾股定理得（2-x）²+（）²=x²，因為DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，進而求出的值；
解答：解：（1）連接GE．
∵KM⊥AD，KG是DE的垂直平分線
∴∠KMG=∠DFG=90°
∴∠GKM=∠GDF
∵MK=AB=AD，∠KMG=∠DAE=90°
∴△KMG≌△DAE
∴MG=AE
∵E是AB中點，且AB=AD=2
∴AE=MG=1
∵KG是DE的垂直平分線
∴GE=GD
設GE=GD=x
則AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+1²=x²
∴x=，
∴DM=GD-GM=，
∴；

（2）若，
則AE=，
∴AE=MG=，
設GE=GD=x
則AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+（）²=x²
∴x=，
∴GD=，
∴DM=GD-GM=，
∴==；

（3）若，
則AE=，
∴AE=MG=，
設GE=GD=x
則AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+（）²=x²
∴x=，
∴GD=，
∴DM=GD-GM=，
∴==．
故答案為：，．
點評：此題考查了梯形，用到的知識點是梯形的性質、勾股定理、線段的中垂線的性質，關鍵是設出未知數，表示出線段的長，利用勾股定理列出方程，求出x的值．