Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D為AC的中點．
（1）如圖1，E為線段DC上任意一點，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，過點F作FH⊥FC，交直線AB于點H．判斷FH與FC的數量關系并加以證明；
（2）如圖2，若E為線段DC的延長線上任意一點，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結論是否發生改變，直接寫出你的結論，不必證明．

Answer 1

分析：（1）延長DF交AB于點G，根據三角形中位線的判定得出點G為AB的中點，根據中位線的性質及已知條件AC=BC，得出DC=DG，從而EC=FG，易證∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS證出△CEF≌△FGH．∴CF=FH．
（2）通過證明△CEF≌△FGH得出．

解答：解：（1）FH與FC的數量關系是：FH=FC．
證明如下：延長DF交AB于點G，

由題意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵點D為AC的中點，
∴點G為AB的中點，且DC=

1

2

AC，
∴DG為△ABC的中位線，
∴DG=

1

2

BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，FH⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．

（2）FH與FC仍然相等．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質、三角形中位線定理等知識，綜合性強，難度較大．