Question

如圖，二次函數y=ax²+bx-8（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，T為拋物線的頂點．
（1）在x軸下方的拋物線上有一點D，以A，C，D，B四點為頂點的四邊形ACDB是等腰梯形，請直接寫出D點的坐標；
（2）過點B作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以點P為圓心的圓過原點，且與直線l₁，l₂都相切？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）直線CT交x軸于點E，點F（m，n）是射線ET上的一個動點，將拋物線沿其對稱軸向下平移2個單位長度，若平移后的拋物線與線段EF只有一個公共點，試分別計算實數m，n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點A、B的坐標代入二次函數解析式，利用待定系數法求出其解析式，然后在求出點C的坐標，根據等腰梯形的性質，點D與點C的縱坐標相等，列方程求解即可得到點D的坐標；
（2）根據二次函數解析式求出對稱軸解析式，然后設出點P的坐標是（1，y），可以判定以兩垂足與點P、B為頂點的四邊形是正方形，利用點P的坐標表示出圓的半徑OP以及正方形的對角線PB的長度，再根據正方形的對角線與邊的關系進行求解即可；
（3）根據（1）中二次函數解析式求出點C、T的坐標，利用待定系數法求出直線CT的解析式，再根據平移寫出平移后的二次函數解析式，然后兩解析式聯立求出交點的坐標，點F位于兩交點之間（包含左邊交點，不包含右邊交點）即可滿足平移后的拋物線與線段EF只有一個公共點，然后根據交點的坐標寫出m、n的取值范圍即可．

解答：解：（1）根據題意得，

4a-2b-8=0 16a+4b-8=0

，
解得

a=1 b=-2

，
∴二次函數解析式為y=x²-2x-8，
當x=0時，y=-8，
∴點C的坐標是（0，-8），
∵四邊形ACDB是等腰梯形，
∴當y=-8時，x²-2x-8=-8，
解得x₁=0，x₂=2，
∴點D的坐標是（2，-8）；

（2）存在．
理由如下：如圖，根據（1），
∵y=x²-2x-8，
∴二次函數圖象對稱軸為x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
∵直線l₁，l₂互相垂直，⊙P與直線l₁，l₂都相切，
∴過兩垂足與點PB的四邊形是正方形，
設點P的坐標是（1，y），
則OP=

12+y2

=

1 +y2

，
PB=

(4-1)2+(0-y)2

=

9 +y2

，
∴

9 +y2

=

2

1 +y2

，即9+y²=2（1+y²），
可得y²=7，
解得y=±

7

，
∴存在點P（1，

7

）或（1，-

7

）；

（3）∵y=x²-2x-8y=（x-1）²-9，T為拋物線的頂點，
∴點T的坐標是（1，-9），
設直線CT的解析式是y=kx+b₁，
則

b1=-8 k+b1=-9

，
解得

k=-1 b1=-8

，
∴直線CT的解析式是y=-x-8，
拋物線向下平移兩個單位的解析式是y=x²-2x-8-2，
即y=x²-2x-10，
兩解析式聯立得，

y=-x-8 y=x2-2x-10

，
解得

x1=-1 y1=-7

，

x2=2 y2=-10

，
∴兩交點的坐標是（-1，-7），（2，-10），
欲使平移后的拋物線與線段EF只有一個公共點，則點F位于兩交點之間，且包含左邊交點，不包含右邊交點，
∴-1≤m＜2，-10＜n≤-7．

點評：本題綜合考查了二次函數的性質，待定系數法求函數解析式，正方形的判定與性質，點的坐標，二次函數圖象與幾何變換，以及等腰梯形的性質，綜合性較強，先求出拋物線的解析式是解題的關鍵．