Question

如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=kx+b交x軸負半軸于A（-1，0），交y軸正半軸于B，C是x軸負半軸上一點，且CO=4AO，△ABC的面積為6．
（1）點C的坐標是

（-4，0）

；點B的坐標是

（0，4）

；
（2）求直線AB的解析式；
（3）點D是第二象限內一動點，且OD⊥BD，直線BM垂直射線CD于E，OF⊥OD交直線BM于F，當線段OD、BD的長度發生改變時，∠BDF的大小是否發生改變？若改變，請說明理由；若不變，請證明并求出其值．

Answer 1

分析：（1）已知點A的坐標，得出OA=1．又因為CO=4AO，求出CA、CO的長，易求點C的坐標；由△ABC的面積為6可以求得點B的坐標；
（2）利用待定系數法求出直線AB的解析式即可；
（3）證明△COD≌△BOF，得出∠ODF=∠BDF=45度．可知∠BDF恒為45°．

解答：解：（1）∵A的坐標是（-1，0），
∴OA=1；
又∵CO=4AO，
∴CO=4；
∵點C是x軸負半軸上一點，
∴C（-4，0）；
∵△ABC的面積為6，
∴

1

2

（OC-OA）•OB=6，
解得，OB=4，
∴點B的坐標是（0，4）；
故答案是：（-4，0），（0，4）；

（2）設直線AB的表達式是：y=ax+b（a、b是常數，且a≠0）．
∵A的坐標是（-1，0），由（1）知點B的坐標是（0，4），
∴

0=-a+b 4=b

，
解得，

a=4 b=4

，
∴直線AB的解析式為：y=4x+4；

（3）當線段OD，BD的長度發生改變時，∠BDF的大小不變．
理由如下：∵BE⊥CE，OB⊥OC，
∴∠OCD=∠OBF，
∵OB⊥OC，OF⊥OD，
∴∠COD=∠BOF，
在△COD和△BOF中

∠OCD=∠OBF CO=BO ∠COD=∠BOF

，
∴△COD≌△BOF（ASA），
∴OD=OF，又OD⊥OF
∴∠ODF=45°
∵OD⊥BD，∴∠BDO=90°，
∴∠BDF=45°，
即線段OD，BD的長度發生改變時，∠BDF的大小恒為45°．

點評：本題考查了一次函數綜合題．解題時，借用了待定系數法求一次函數解析式，三角形的面積公式以及全等三角形的判定與性質等知識點．