Question

【題目】如圖，內接于以為直徑的中，且點是的內心，的延長線與交于點，與交于點，的切線交的延長線于點．

（1）試判斷的形狀，并給予證明；

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）是等腰直角三角形，證明見解析；（2）AE＝．

【解析】

（1）根據圓周角定理的推論可得∠BDA＝90°，∠ACB＝90°，然后根據內心的性質結合三角形外角的性質求出∠BED＝45°即可得到是等腰直角三角形；

（2）根據切線的性質求出∠POD＝60°，可得∠OAD＝30°，然后解等腰直角三角形求出BD＝DE＝，進而求出AD＝即可．

解：（1）是等腰直角三角形；

證明：∵AB是直徑，

∴∠BDA＝90°，∠ACB＝90°，

∴∠CAB＋∠CBA＝90°，

∵點是的內心，

∴AE，BE分別是∠CAB和∠CBA的角平分線，

∴∠BED＝∠BAE＋∠ABE＝∠CAB＋∠CBA＝（∠CAB＋∠CBA）＝45°，

∴是等腰直角三角形；

（2）連接OD，

∵是的切線，

∴∠ODP＝90°，

∴∠POD＝90°－30°＝60°，

∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA＝30°，

∵，是等腰直角三角形，

∴BD＝DE＝BE·cos45°＝2×，

∴AD＝，

∴AE＝AD－DE＝．