Question

如圖1，在平面直角坐標系中，點M（0，-3），⊙M與x軸交于點A、B，與y軸交于點C、E；拋物線y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0）經過A、C兩點；
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）當a取何值時，拋物線y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0）的對稱軸與⊙M相切？
（3）如圖2，當拋物線的頂點D在第四象限內時，連接BC、BD，且tan∠CBD=．
①試確定a的值；
②設此時的拋物線與x軸的另一個交點是點F，在拋物線的對稱軸上找一點T，使|TM-TF|達到最大，并求出最大值．（請在圖2中作出點T）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接MA，分別求得OC、OM、MC、MA后即可得到點A、B、C的坐標；
（2）將點A的坐標代入拋物線的解析式，并表示出其對稱軸，根據切線的性質得到a的值即可；
（3）①利用兩角的正切值相等可以得到兩個角相等，并利用BD⊥AB得到-2+=4并求得a的值即可；
②由對稱性知拋物線與x軸的另一個交點F的坐標是（12，0），再由對稱性，TF=TA，則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，因此，當點T是MA的延長線與對稱軸的交點時，|TM-TF|達到最大，最大值是5；據此可以求得點T的坐標．
解答：解：（1）連接MA，
∵拋物線y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0）經過A、C兩點；
∴x=0時，y=-8，則C點坐標為：（0，-8），
∵M（0，-3），
∴OM=3，
∴MC=8-3=5，
則MA==5，
∴OA=OB=4，
∴點A、點B、點C的坐標分別是（-4，0）、（4，0）、（0，-8），

（2）∵拋物線y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0），
∴它的對稱軸是直線：x=-=-2+；
要使拋物線的對稱軸與⊙M相切，則-2+=±5，
當a=或a=-時，拋物線的對稱軸與⊙M相切；

（3）①在Rt△BOC中，tan∠BCO==，
又∵tan∠CBD=，
∴∠BCO=∠CBD，
∴BD∥OC，
又∵OC⊥AB，
∴BD⊥AB，
即得：-2+=4，
∴a=；
②如圖，由對稱性，此時，拋物線與x軸的另一個交點F的坐標是（12，0），
由三角形的兩邊之差小于第三邊的性質可知：|TM-TF|≤MF，要使|TM-TF|達到最大，
則點T應在線段MF的延長線，但不可能同時在拋物線的對稱軸上，
故達不到最大值是線段MF的長；
而由對稱性，TF=TA，則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，
因此，當點T是MA的延長線與對稱軸的交點時，|TM-TF|達到最大，最大值是5；
∵BD∥OC，又OA=OB，
∴BT=6，
∴點T的坐標是（4，-6）；[也可求出MA所在直線的一次函數，再求點T坐標]
點評：此題主要考查了二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的對稱軸公式和三角函數關系等知識，利用三角形三邊關系得出|TM-TF|是解題關鍵．