Question

【題目】已知：如圖，在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．

（1）求證：∠AOC=∠BOD；
（2）試確定AC與BD兩線段之間的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OA=OB，OC=OD，

∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，

∵∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，

∴∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，

∴∠AOC=∠DOB

（2）解：AC=BD

證明：過O作OE⊥AB于E，

∴AE=EB，CE=ED，

∴AE﹣CE=BE﹣DE，

即AC=BD．

【解析】（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等邊對等角易得∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，而利用三角形外角性質可得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，從而可得∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，再利用等量相減，差相等可得∠AOC=∠DOB；（2）過O作OE⊥AB于E，利用垂徑定理有AE=EB，CE=ED，于是AE﹣CE=BE﹣DE，即AC=BD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．