Question

【題目】如圖：已知AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°

(1)如圖①,當∠B=90°時，求證：DB=DC；

(2)如圖②,如果∠ABD<90°時,(1)中的結論還成立嗎?如果成立，請給出證明，如果不成立，請舉反例說明；

(3)如圖③,四邊形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°，DB=DC=1，則ABAC=___.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）

【解析】

（1）利用HL判斷出△ADC≌△ADC，即可得出結論；

（2）先構造出△ACD≌△AED，得出DC=DE，∠AED=∠C，在判斷出DE=DB，即可得出結論；

（3）利用（2）結論得出DE=DB，再判斷出∠BDE=90°，利用勾股定理求出BE即可得出結論．

（1）∵∠B+∠C=180°，∠B=90°，

∴∠C=90°.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△ABD（AAS），

∴BD=CD；

（2）BD=CD仍成立，

理由如下：如圖②，在AB邊上取點E，使AC=AE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠EAD.

∵AD=AD，AC=AE，

∴△ACD≌△AED，

∴DC=DE，∠AED=∠C.

∵∠C+∠B=180°，∠AED+∠DEB=180°，

∴∠DEB=∠B，

∴DE=DB，

∴DB=DC；

（3）如圖③，在AB上取一點E使AE=AC，

同（2）的方法得，AE=AC，CD=DE=BD=1，

∴∠DEB=∠B=45°，

∴∠BDE=90°，

根據勾股定理得，BE=，

∴AB-AC=BE=，

故答案為：．