Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O與點D，過點D的切線分別交AB、AC的延長線與點E、F．
（1）求證：AF⊥EF．
（2）小強同學通過探究發現：AF+CF=AB，請你幫忙小強同學證明這一結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OD，由EF是⊙O的切線，可得OD⊥EF，由∠BAC的平分線交⊙O與點D，易證得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB為直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得AC⊥BC，繼而證得AF⊥EF．
（2）首先連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，易證得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，繼而證得AF+CF=AB．
解答：證明：（1）∵EF是⊙O的切線，
∴OD⊥EF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴=，
∴OD⊥BC，
∴BC∥EF，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
即AC⊥BC，
∴AF⊥EF；

（2）連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
在△ABD和△ADH中，
，
∴△ABD≌△AHD（ASA），
∴AH=AB，
∵EF是切線，
∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，
∴∠EDF=∠HDF，
∵DF⊥AF，DF是公共邊，
∴△CDF≌△HDF（ASA），
∴FH=CF，
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB．
即AF+CF=AB，
點評：此題考查了切線的性質、弦切角定理、圓周角定理以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．