Question

如圖①，頂點為A的拋物線E：y=ax²-2ax（a＞0）與坐標軸交于O、B兩點．拋物線F與拋物線E關于x軸對稱．
（1）求拋物線F的解析式及頂點C的坐標（可用含a的式子表示）；
（2）如圖②，直線l：y=ax（a＞0）經過原點且與拋物線E交于點Q，判斷拋物線F的頂點C是否在直線l上；

（3）直線OQ繞點O旋轉，在x軸上方與直線BC交于點M，與直線AC交于點N．在旋轉過程中，請利用圖③，圖④探究∠OMC與∠ABN滿足怎樣的關系，并驗證．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用配方法把y=ax²-2ax（a＞0）從一般式轉化為頂點式，直接利用頂點式的特點求解．
（2）把點C的橫坐標代入直線l，得到的縱坐標是否與點C相同即可．
（3）連接OC，BN，在△OCM和在△BNA中由三角形內角和求得∠OMC與∠ABN相等．
解答：解：（1）由題意：y=ax²-2ax=a（x-1）²-a，
頂點坐標A（1，-a），
點C關于x軸與點A對稱則C（1，a），
∴拋物線F的解析式：y=-a（x-1）²+a；

（2）依題意，把點C（1，a）的橫坐標代入直線l：y=ax（a＞0）得：
其縱坐標y=a
所以直線l：y=ax（a＞0）經過點C．

（3）由題意可得OC=BC=AB，
∴∠BAC=∠BCA=∠OCA，
∵點N為對稱軸上的點，
∴∠BNC=∠CNO，
在△OCM中，則∠OMC+∠OCM+∠COM=180°，
在△BNA中，則∠NBA+∠BNA+∠BAN=180°，
由以上證得：∠BAC=∠BCA=∠OCA，∠BNC=∠CNO，
又由對頂角相等，即∠ONC=∠MNA，
∴∠OMC=∠ABN．
點評：本題考查了二次函數的綜合運用，涉及到了頂點式，點關于x軸的對稱點，以及與多條相關直線交錯形成三角形，而解內角和的問題．