Question

己知：正方形ABCD．
（1）如圖1，點E、點F分別在邊AB和AD上，且AE=AF．此時，線段BE、DF的數量關系和位置關系分別是什么？請直接寫出結論．
（2）如圖2，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當0°＜α＜90°時，連接BE、DF，此時（1）中的結論是否成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
（3）如圖3，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當a=90°時，連接BE、DF，猜想溝AE與AD滿足什么數量關系時，直線DF垂直平分BE．請直接寫出結論．
（4）如圖4，等腰直角三角形FAE繞直角頂點A順時針旋轉∠α，當90°＜α＜180°時，連接BD、DE、EF、FB得到四邊形BDEF，則順次連接四邊形BDEF各邊中點所組成的四邊形是什么特殊四邊形？請直接寫出結論．

Answer 1

解：（1）BE=DF且BE⊥DF；

（2）在△DFA和△BEA中，
∵∠DAF=90°-∠FAB，∠BAE=90°-∠FAB，
∴∠DAF=∠BAE，
又AB=AD，AE=AF，
∴△DFA≌△BEA，
∴BE=DF；∠ADF=∠ABE，
∴BE⊥DF；

（3）AE=（-1）AD；

（4）正方形．
分析：（1）根據正方形的性質，AB=AD，由AE=AF，可得BE=DF且BE⊥DF；
（2）通過證明△DFA≌△BEA，可得（1）中的結論依然成立；
（3）連接BD，直線DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=AD，解答出即可；
（4）如圖，通過證明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，結合（2）中結論，可得到各邊中點所組成的四邊形的形狀；
點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定和性質、線段的垂直平分線及正方形的性質，本題的綜合性較強，掌握并熟練應用以上性質是解答本題的關鍵．