Question

如圖，AB為半圓的直徑，CD∥AB，若AB=2cm，AD=xcm，四邊形ABCD的周長為ycm，則y與x的函數關系式為

 

，周長最長為

 

．

Answer 1

分析：連接BD，過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，設CD=a，由平行得到弧AD=弧BC，推出AD=BC，得出矩形CDEF，根據矩形的性質推出CD=EF，證△CFB≌△DEA，求出AE=BF=

2-a

2

，根據勾股定理求出BD，DE，關鍵三角形的面積公式得到

1

2

×2×

x2- (2-a) 4 2

=

1

2

×x×

4-x2

，求出a的值即可，把二次函數化成頂點式即可求出周長的最大值．

解答：解：連接BD，過D作DE⊥AB于E，過C作CF⊥AB于F，設CD=a，
∵CD∥AB，
∴弧AD=弧BC，
∴AD=BC，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴CD=EF，
∵AD=BC，DE=CF，∠DEA=∠CFB=90°，
∴△CFB≌△DEA，
∴AE=BF=

2-a

2

，
在△ADB中由勾股定理得：BD=

AB2- AD2

=

4-x2

，
在△AED中由勾股定理得DE=

AD2-AE2

=

x2- (2-a) 4 2

，
根據三角形的面積公式得：

1

2

×2×

x2- (2-a) 4 2

=

1

2

×x×

4-x2

，
解得：a=2+x²（舍去），a=2-x²，
y與x的函數關系式為：2+x+x+2-x²=-x²+2x+4，
=-（x-1）²+5，
周長最大是5，
故答案為：y=-x²+2x+4，5．

點評：本題主要考查對勾股定理，矩形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，三角形的面積，圓心角，弧，弦之間的關系，等腰梯形的性質，平行線的性質，二次函數的最值等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．