Question

在沒有帶開方功能的計算器的情況下，我們可以用下面的方法得到

n

（n為正整數）的近似值a_k（k為正整數），并通過迭代逐漸減小|a_k-

n

|的值來提高a_k的精確度，以求

7

的近似值為例，迭代過程如下：
（1）先估計

7

的范圍并確定迭代的初始值a₁：
∵

4

＜

7

＜

9

，∴2＜

7

＜3，取a1=2+

3-2

2

=2.5；
（2）通過計算mk=

(ak)2-n

2ak

和ak+1=ak-mk得到精確度更高的近似值a_k+1：（說明

7

≈2.6458，此題中記

7

≈2.6458，以下結果都要求寫成小數形式）：
k=1時，m₁=

(a1)2-7

2a1

=

-0.15

，a₂=a₁-m₁=

2.65

，|a₂-

7

|=

0.0042

；
k=1時，m₂=

(   )

(   )

≈

0.004

（精確到0.001），a₃=

a₂

-

m₂

=

2.646

'|a₃-

7

|=

0.0002

；
…

Answer 1

分析：根據（1）中的結果和

7

的范圍和近似值，代入求出即可．

解答：解：（2）∵2＜

7

＜3，
∴a₁=2+

3-2

2

=2.5，
∴m₁=

2．52-7

2×2.5

=-0.15，a₂=a₁-m₁=2.5-（-0.15）=2.65，|a₂-

7

|≈|2.65-2.6458|=0.0042，
m₂=

a22-7

2a2

=

2.652-7

2×2.65

≈0.004，
a₃=a₂-m₂=2.65-0.004=2.646，
|a₃-

7

|≈|2.646-2.6458|=0.0002，
故答案為：-0.15，2.65，0.0042，0.004，a₂，m₂，2.646，0.0002．

點評：本題考查了估算無理數的大小的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力．