Question

如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A．B兩點，開口向下的拋物線經過點A，B，且其頂點P在⊙C上．

【小題1】求∠ACB的大小
【小題2】寫出A，B兩點的坐標
【小題3】由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點P的坐標為（1，3），求出拋物線的解析式；
【小題4】在該拋物線上是否存在一點D點，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】120°
【小題2】A（1-  ，0），B（1+ ，0）
【小題3】y=-x²+2x+2
【小題4】點D的坐標是（0，2）解析:
解：（1）作CH⊥x軸于H，
∵CH=1，半徑CB=2，
∴∠BCH=60°，
即∠ACB=120°．
（2）∵CH=1，半徑CB=2，
∴HB= ，
∴A的坐標是（1-  ，0），B的坐標是（1+ ，0）．
（3）設拋物線的解析式是y=a（x-1）2+3，
把點B（1+ ，0）代入上式，解得：a=-1，
∴y=-1（x-1）²+3=-x²+2x+2，
即拋物線的解析式是y=-x²+2x+2．
（4）假設存在點D使線段OP與CD互相平分，
則四邊形OCPD是平行四邊形，
∴PC∥OD，PC=OD，
∵PC∥y軸，
∴點D在y軸上，
∵PC=2，
∴OD=2，
即D（0，2），
又D（0，2）滿足y=-x²+2x+2，
∴點D在拋物線上，
∴存在D點，使線段OP與CD互相平分，且點D的坐標是（0，2）．