Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4 ，點P、Q、K分別為線段AB、BC、AC上任意一點，則PK+QK的最小值為 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：如圖，過A作AH⊥BC交CB的延長線于H，
∵AB=CB=4，S△ABC=4 ，
∴AH=2 ，
∴cos∠HAB= = ，
∴∠HAB=30°，
∴∠ABH=60°，
∴∠ABC=120°，
∵∠BAC=∠C=30°，
作點P關于直線AC的對稱點P′，
過P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，
則P′Q 的長度=PK+QK的最小值，
∴∠P′AK=∠BAC=30°，
∴∠HAP′=90°，
∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°，
∴四邊形AP′QH是矩形，
∴P′Q=AH=2 ，
即PK+QK的最小值為2 ．
故答案為：2 ．

根據軸對稱確定最短路線問題，作點P關于BD的對稱點P′，連接P′Q與BD的交點即為所求的點K，然后根據直線外一點到直線的所有連線中垂直線段最短的性質可知P′Q⊥BC時PK+QK的最小值，然后求解即可．