Question

杭州休博會期間，嘉年華游樂場投資150萬元引進一項大型游樂設施．若不計維修保養費用，預計開放后每月可創收33萬元．而該游樂設施開放后，從第1個月到第x個月的維修保養費用累計為y（萬元），且y=ax²+bx；若將創收扣除投資和維修保養費用稱為游樂場的純收益g（萬元），g也是關于x的二次函數；
（1）若維修保養費用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元．求y關于x的解析式；
（2）求純收益g關于x的解析式；
（3）問設施開放幾個月后，游樂場的純收益達到最大；幾個月后，能收回投資？

Answer 1

分析：（1）根據題意確定x，y的兩組對應值求y的函數關系式；
（2）根據純收益g=開放后每月可創收33萬元×月數x-游樂場投資150萬元-從第1個月到第x個月的維修保養費用累計y，列出函數關系式；
（3）求函數最大值，及g＞0時，x的值，可確定回收投資的月份．

解答：解：（1）由題意得：x=1時y=2；
x=2時，y=2+4=6代入得：

a+b=2 4a+2b=6

解之得：

a=1 b=1

∴y=x²+x；

（2）由題意得：
g=33x-150-（x²+x）
=-x²+32 x-150；

（3）g=-x²+32 x-150=-（x-16）²+106，
∴當x=16時，g_最大值=106，
即設施開放16個月后，游樂場的純收益達到最大，
又∵當0＜x≤16時，g隨x的增大而增大；
當x≤5時，g＜0；而當x＞6時，g＞0，
∴6個月后能收回投資．

點評：本題考查了用待定系數法求二次函數解析式及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．