Question

菱形ABCD中，∠BAD是銳角，AC，BD相交于點O，E是BD的延長線上一動點（不與點D重合），連接EC并延長和AB的延長線交于點F，連接AE.

（1）比較∠F和∠ABD的大小，并說明理由；

（2）當△BFC有一個內角是直角時，求證：△BFC∽△EFA；

（3）當△BFC與△EFA相似（兩三角形的公共角為對應角），且AC=12，DE=5時，求△BFC與△EFA的相似比.

Answer 1

（1）∵∠ABD為△BFE的一個外角

∴∠ABD＞∠F……………………… (1分)

（2）∵菱形ABCD

∴BC∥AD，∠ABD=∠ABC

∴∠BAD=∠FBC,∠BAD+∠ABC=180°

又∵∠BAD為銳角

∴∠FBC為銳角，∠ABC為鈍角

∴∠ABD為銳角

由（1）得∠F也為銳角

又∵△BFC有一個角是直角，

∴∠BCF為直角………………………… (2分)

證明△ABE≌Rt△CBE………………… (4分)

證明△BFC∽△EFA………………  … (5分)

（3）當△BFC與△EFA相似（兩三角形的公共角為對應角）時

∵∠BCE為△BFC的外角

∴∠BCE﹥∠FBC   ∠BCE﹥∠F

   ∴∠BAE=∠BCF＝∠BCE＝90°

∠FBC＝∠AEF，

∴∠OAD＝∠OEA

∴△OAD∽△OEA

∴AO²＝OD×OE

設OD =x，列方程得：36＝x(x+5)

解方程的x＝4，

∴BC∶AE＝AD∶AE＝AO∶OE＝2∶3)