Question

（在下面兩題中任選一題）
（1）如圖，雙曲線y=

k

x

經過Rt△OMN斜邊上的點A，與直角邊MN相交于點B，已知OA=2AN，△OAB的面積為5，則k的值是

12

．
（2）如圖，點A在雙曲線y=

1

x

上，點B在雙曲線y=

3

x

上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為

2

．

Answer 1

分析：（1）過A點作AC⊥x軸于點C，易得△OAC∽△ONM，則OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，設A點坐標為（a，b），得到N點坐標為（

3

2

a，

3

2

b），由點A與點B都在y=

k

x

圖象上，根據反比例函數的坐標特點得B點坐標為（

3

2

a，

2

3

b），由OA=2AN，△OAB的面積為5，△NAB的面積為

5

2

則△ONB的面積=5+

5

2

=

15

2

根據三角形面積公式得

1

2

NB•OM=

15

2

即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=

15

2

，化簡得ab=12，即可得到k的值．
（2）根據雙曲線的圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的矩形的面積S的關系S=|k|即可判斷．

解答：解：（1）過A點作AC⊥x軸于點C，如圖：
則AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，設A點坐標為（a，b），則OC=a，AC=b，
∴OM=

3

2

a，NM=

3

2

b，
∴N點坐標為（

3

2

a，

3

2

b），
∴點B的橫坐標為

3

2

a，設B點的縱坐標為y，
∵點A與點B都在y=

k

x

圖象上，
∴k=ab=

3

2

a•y，
∴y=

2

3

b，即B點坐標為（

3

2

a，

2

3

b），
∵OA=2AN，△OAB的面積為5，
∴△NAB的面積為

5

2

，
∴△ONB的面積=5+

5

2

=

15

2

，
∴

1

2

NB•OM=

15

2

，
即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=

15

2

，
∴ab=12，
∴k=12．
故答案為12．

（2）過A點作AE⊥y軸，垂足為E，
∵點A在雙曲線y=

1

x

上，
∴四邊形AEOD的面積為1，
∵點B在雙曲線y=

3

x

上，且AB∥x軸，
∴四邊形BEOC的面積為3，
∴四邊形ABCD為矩形，則它的面積為3-1=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查了反比例函數 y=

k

x

中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．