Question

如圖，某劇組在東海拍攝廣泛風光片，拍攝基地位于A處，在其正南方向15海里處一小島B，在B的正東方向20海里處有一小島C，小島D位于AC上，且距小島A10海里．
（1）求∠A的度數（精確到1°）和點D到BC的距離；
（2）攝制組甲從A處乘甲船出發，沿A?B?C的方向勻速航行，攝制組乙從D處乘乙船出發，沿南偏西方向勻速直線航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若兩船同時出發并且在B、C間的F處相遇，問相遇時乙船航行了多少海里？（結果精確到0.1海里）

Answer 1

分析：（1）根據銳角三角函數的定義求出∠A的度數，過點D作DE⊥BC于點E，利用勾股定理可求出AC的長，再用Rt△ABC∽Rt△DEC可求出D到BC的距離；
（2）設相遇時乙船航行了x海里，則DF=x，AB+BF=2x，利用勾股定理可求出x的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，
∵tanA=

BC

AB

=

4

3

（1分）
∴∠A≈53°（2分）
過點D作DE⊥BC于點E
∵AC=

AB2+BC2

=

152+202

=25
而Rt△ABC∽Rt△DEC
∴

AB

DE

=

AC

CD

∴DE=

AB•CD

AC

=9
∴D到BC的距離為9海里；

（2）設相遇時乙船航行了x海里，則DF=x，AB+BF=2x（2分）
∵CD=15，DE=9
∴CE=12
∴EF=15+20-2x-12=23-2x（1分）
在Rt△DEF中，（23-2x）²+9²=x²（1分）
解得：x₁≈21.0（不合題意，舍去），x₂≈9.7（2分）
答：相遇時乙船航行了9.7海里．

點評：解一般三角形，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．