Question

已知拋物線y=ax²+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點如圖1，頂點為M．
（1）求a、b的值；
（2）設拋物線與y軸的交點為Q，且直線y=-2x+9與直線OM交于點D（如圖1）．現將拋物線平移，保持頂點在直線OD上，當拋物線的頂點平移到D點時，Q點移至N點，求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線

MQ

掃過的區域的面積；
（3）將拋物線平移，當頂點M移至原點時，過點Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F兩點（如圖2）．試探究：在y軸的負半軸上是否存在點P，使得∠EPQ=∠QPF？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將已知的兩點的坐標代入二次函數的解析式利用待定系數法求得a、b的值即可；
（2）首先將求得的拋物線的解析式利用配方法求得其頂點坐標，然后求得D點的坐標，3然后利用平移的性質即可求得平行四邊形MDNQ的面積；
（3）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，設EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設存在滿足題設條件的點P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F作GH的垂線通過證明△GEP∽△HFP得到比例式求得t值即可存在，否則就不存在．

解答：解：（1）拋物線y=ax²+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點：
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得：

a=1 b=4

；

（2）由 （1）求得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
由方程組

y=-2x+9 y= 1 2 x

，
解得：

x= 18 5 y= 9 5

，
∴D（

18

5

，

9

5

）
如圖1，由平移的性質知，拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線

MQ

掃過的區域的面積即為平行四邊形MDNQ的面積，連接QD，
∴S_{平行四邊形MDNQ}=2S_△MDQ=2（S_△OQM+S_△OQD）=2×（

1

2

×3×2+

1

2

×3×

18

5

）=

84

5

；

（3）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，
設EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設存在滿足題設條件的點P（0，t）過P作GH∥x軸，分別過E，F作GH的垂線，
垂足為G，H（如圖2）．
∵∠EPQ=∠QPF，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴

GP

HP

=

GE

HF

，
∴

-xE

xF

=

yE-t

yF-t

=

kxE+3-t

kxF+3-t

∴2k x _E•x _F=（t-3）（x _E+x _F）
由

y=x2 y=kx+3

．
得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負半軸上存在點P（0，-3），使∠EPQ=∠QPF．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法以及相似三角形的判定與性質等知識點，利用數形結合的數學思想得出是解題關鍵．