Question

【題目】如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC兩邊的中點，如果（可以是劣弧、優弧或半圓）上的所有點都在△ABC的內部或邊上，則稱為△ABC的中內弧，例如，圖中是△ABC其中的某一條中內弧．若在平面直角坐標系中，已知點F（0，4），O（0，0），H（4，0），在△FOH中，M，N分別是FO，FH的中點，△FOH的中內弧所在圓的圓心P的縱坐標m的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】m≤1或m≥2．

【解析】

先判斷出點P在線段MN的垂直平分線上，再求出點M，N，Q的坐標，再分點P在MN上方和下方，即可得出得出結論．

解：如圖，連接MN，

由垂徑定理可知，圓心P一定在線段MN的垂直平分線上，

作MN的垂直平分線QP，

∵M，N分別是FO，FH的中點，且F（0，4），O（0，0），H（4，0），

∴M（0，2），N（2，2），Q（1，2），

若圓心在線段MN上方時，

設P（1，m）由三角形中內弧定義可知，圓心P在線段MN上方射線QP上均可，

∴m≥2，

當圓心在線段MN下方時，

∵OF＝OH，∠FOH＝90°

∴∠FHO＝45°，

∵MN∥OH，

∴∠FNM＝∠FHO＝45°，

作NG⊥FH交直線QP于G，QG＝NQ＝1，

根據三角形中內弧的定義可知，圓心在點G的下方（含點G）的直線QP上時也符合要求；

∴m≤1，

綜上所述，m≤1或m≥2，

故答案為m≤1或m≥2．