Question

已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點O，P是射線AB上任意一點，過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．
（1）如圖1，當(dāng)P點在線段AB上時，求PE+PF的值．
（2）如圖2，當(dāng)P點在線段AB的延長線上時，求PE-PF的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為ABCD是正方形，所以對角線互相垂直，又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．
（2）因為四邊形ABCD是正方形，所以對角線互相垂直，又因為過P點分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F，所以可證明四邊形PFOE是矩形，從而求出解．
解答：解：（1）∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠BPF=45°，
∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PF⊥BF，
∴PF∥AC，同理PE∥BD，
∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=∠OBA=45°，
∴PF=BF．
又∵BC=a，
∴PE-PF=OF-BF=OB=BCcos45°=acos45°=a．
點評：本題考查正方形的性質(zhì)，正方形的對角線互相垂直且平分每一組對角，四邊相等，四個角都是直角，以及矩形的判定和性質(zhì)解直角三角形等．