Question

在平面直角坐標系中，菱形OABC的OC邊落在x軸上，∠AOC=60°，OA=．若菱形OABC內部（邊界及頂點除外）的一格點P（x，y）滿足：x²-y²=90x-90y，就稱格點P為“好點”，則菱形OABC內部“好點”的個數為（ ）
（注：所謂“格點”，是指在平面直角坐標系中橫、縱坐標均為整數的點．）

A．145
B．146
C．147
D．148

Answer 1

【答案】分析：過A作AQ⊥OC于Q，過B作BH⊥X軸于H，求出OQ、AQ，根據x²-y²=90x-90y，求出x=y，x+y=90，求出BH=90  OA：y′=x（1）y=x時，有90-1=89個點符合（2）y=-x+90時，令y=y'則x=45（-1），y=-x+90時有90-32-1=57個點符合，有57+89-1=145個點符合，即可得到答案．
解答：解：過A作AQ⊥OC于Q，過B作BH⊥X軸于H，
∵∠A0C=60°，OA=60，
∴∠OAQ=30°，
∴OQ=30，
由勾股定理得：AQ=90，
∵x²-y²=90x-90y，
∴（x-y）（x+y-90）=0，
∴x=y，x+y=90，
BH=90  OA：y′=x
（1）y=x時，令y=90 則x=90，
作直線y=x的圖象，交AB于D，
∵AQ=90，
∴D（90，90），
∵邊界及頂點除外
∴y=x時有90-1=89個點符合（D點除外），
（2）y=-x+90時，
∵直線OA的解析式為y′=x，
∴令y=y'則x=45（-1）
∵≈1.732
∴x≈32.9（取x=33），
則直線OA于直線y=-x+90的交點是（45-45，135-45），
再令y=0 則x=90，
∵邊界及頂點除外，
∴y=-x+90時有90-32-1=57個點符合，
∴有57+89-1=145個點符合，
故選A．
點評：本題主要考查對菱形的性質，勾股定理，含30度得直角三角形的性質，坐標與圖形性質等知識點的理解和掌握，能根據已知條件找出規律是解此題的關鍵．