Question

在直角坐標系中，直線y=2x+4交x軸于A，交y軸于D
（1）以A為直角頂點作等腰直角△AMD，直接寫出點M的坐標為

 

（2）以AD為邊作正方形ABCD，連BD，P是線段BD上（不與B、D重合）的一點，在BD上截取PG=

10

，過G作GF⊥BD，交BC于F，連AP則AP與PF有怎樣的數量關系和位置關系？并證明你的結論；
（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45°，試判斷線段PD、PG、BG之間有何關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先根據y=2x+4確定A點與D點坐標，然后把AD繞點A順時針（或逆時針）旋轉90°，即把Rt△ADO繞點A順時針（或逆時針）旋轉90°，點D的對應點為點M，利用三角形全等易確定M的坐標；
（2）過A作AH⊥DB，先計算出AD=2

5

，利用正方形的性質得到BD=2

5

•

2

=2

10

，AH=DH=

1

2

BD=

10

，由PG=

10

得DP+BG=

10

，則PH=BG，易證Rt△APH≌Rt△PFG，即可得到AP=PF且AP⊥PF；
（3）把△AGB繞A點逆時針旋轉90°得到△AMD，利用旋轉的性質得到∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，AM=AG，則∠MDP=90°，根據勾股定理有DP²+BG²=PM²；由∠PAG=45°，則∠DAP+∠BAG=45°，得到∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，易證得△AMP≌△AGP，得到MP=PG，即有DP²+BG²=PG²．

解答：解：（1）M（-6，2）或（2，-2）；

（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：
過A作AH⊥DB，如圖，
∵A（-2，0），D（0，4），
∴AD=

42+22

=2

5

，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BD=2

5

•

2

=2

10

，
∴AH=DH=

1

2

BD=

10

，
而PG=

10

，
∴DP+BG=

10

，
而DH=DP+PH=

10

，
∴PH=BG，
∵∠GBF=45°，
∴BG=GF，
∴Rt△APH≌Rt△PFG，
∴AP=PF，∠PAH=∠FPG，
∴∠APH+∠GPF=90°，即AP⊥PF．

（3）DP²+BG²=PG²．理由如下：
把△AGB繞A點逆時針旋轉90°得到△AMD，連MP，如圖，
∴∠MDA=∠ABG=45°，DM=BG，∠MAD=∠BAG，
∴∠MDP=90°，
∴DP²+BG²=PM²；
又∵∠PAG=45°，
∴∠DAP+∠BAG=45°，
∴∠MAD+∠DAP=45°，即∠MAP=45°，
而AM=AG，
∴△AMP≌△AGP，
∴MP=PG，
∴DP²+BG²=PG²．

點評：本題考查了一次函數的綜合題：利用一次函數的解析式確定某些線段的長，然后根據正方形的性質、三角形全等的判定與性質以及旋轉的性質證明線段的關系．