Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，若將△ABC繞點C順時針旋轉180°得到△FEC，連接AE、BF．
（1）AE與BF的關系是

 

；
（2）若△ABC的面積為

3

cm²，S_{四邊形ABFE}=

 

；
（3）當∠ACB為多少度時，四邊形ABFE為矩形？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由△ABC繞點C順時針旋轉180°可知：AC=CF，BC=CE，四邊形ABFE為平行四邊形，∴AE∥BF，AE=BF；
（2）由于AC是△ABE的BE邊上中線，∴S_△ABE=2S_△ABC=2

3

，同理S_△BEF=2S_△CEF=2

3

，∴S_?ABFE=4

3

；
（3）要判斷四邊形ABFE為矩形，從對角線來看，要求AF=BE，又AF與BE互相平分，只需要AC=BC，而AB=AC，故△ABC為等邊三角形，∠ACB=60°．

解答：解：（1）AE平行且等于BF；

（2）由（1）得四邊形ABFE為平行四邊形，
∴AC=CF，BC=CE，
∴根據等底同高得到S_△ABC=S_△ACE=S_△BCF=S_△CEF=

3

，
S_{四邊形ABFE}=4S_△ABC=4

3

cm²；

（3）當∠ACB=60°時，四邊形ABFE為矩形．
理由是：AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠BAC=60°，
∴∠ACE=120°．
又BC=CE，AC=CF，
∴∠EAC=∠CEA=30°，
∴∠BAE=90°，同理可證其余三個角也為直角．
∴四邊形ABFE為矩形．

點評：本題考查旋轉的性質--旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．