Question

【題目】如圖，直線y=x+8與x軸交于A點，與y軸交于點B，動點P從A點出發，以每秒2個單位速度沿射線AO勻速運動，同時動點Q從B點出發，以每秒1個單位的速度沿射線BA方向向點A勻速運動，當一個點停止運動，另一個點也隨之停止運動，連接PQ，設運動的時間為t（秒）．

（1）用t的代數式表示AP= ，AQ=

（2）當t為何值時，PQ∥OB？

（3）若點C為平面直角坐標系內一點，是否存在t值，使得以A、P、Q、C為頂點的四邊形為菱形？若存在，求出Q點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）點的坐標為，，．

【解析】

（1）根據題意，先求出點A和點B的坐標，得到AB的長度，根據路程=速度時間，即可表示出AP和BQ；

（2）由（1）可知AP和AQ，然后利用平行線分線段成比例，即可求出t的值；

（3）分三種情形列出方程求解：①當，作，，可得菱形；②當時，作，，可得菱形；③當時，作，，可得菱形；分別求出點Q的坐標即可.

解：（1）根據題意，令，則，解得；

令時，，

∴，，

∴點，；

在中，由勾股定理得，，

∵點的速度是每秒2個單位，點的速度是每秒1個單位，

∴，，

故答案為：，；

（2）若，如圖：

∴，

∵，

∴，解得：；

（3）①如圖中，當，作，，可得菱形．

∵，

∴，

∴．

設點Q為（，），

∴，

解得：，

∴，

∴此時；

②如圖中，當時，作，，可得菱形，連接交于．

∵四邊形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

與①同理可求點Q的坐標，

∴此時．

③如圖中，當時，作，，可得菱形，連接交于．

∵四邊形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴．

與①同理可求點Q的坐標，

∴此時．

綜上所述，滿足條件的點的坐標為：，，．