Question

如圖，將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得AC，連接BC，作△ABC的外接圓⊙O，點P為劣弧

AB

上的一個動點，弦AB、CP相交于點D．
（1）求∠APB的大小；
（2）當點P運動到何處時，PD⊥AB？并求此時CD：CP的值；
（3）在點P運動過程中，比較PC與AP+PB的大小關系，并對結論給予證明．

Answer 1

分析：（1）先根據題意判斷出△ABC是等邊三角形，再根據圓內接四邊形對角互補的性質可知∠APB+∠ACB=180°，進而可得出結論；
（2）連接PC，OA，OB，設⊙O的半徑為r，則CP=2r，根據⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°，再根據直角三角形的性質可用r表示出OD，CD的值，進而得出結論；
（3）在AP的延長線上取點Q，使PQ=PB，連接BQ，可判斷出△BPQ是等邊三角形，再根據全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性質即可得出結論．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠APB=120°；

（2）當點P運動到

AB

的中點時，PD⊥AB，
如圖1，連接PC，OA，OB，設⊙O的半徑為r，則CP=2r，
又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓，
∴∠OAB=30°，
在Rt△OAD中，
∵OD=

1

2

OA=

r

2

，
∴CD=

r

2

+r=

3r

2

，
∴CD：CP=

3r

2

：2r=3：4；

（3）PC=AP+PB

證明：方法一：
如圖2，在AP的延長線上取點Q，使PQ=PB，連接BQ，
∵∠APB=120°，
∴∠BPQ=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PB=BQ，
∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，
∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP，
∴∠ABQ=∠CBP，
在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB，
∴△ABQ≌△CBP，
∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；
方法二：如圖3，B為圓心，BP為半徑畫圓交CP于點M，連接BM，
∵∠CPB=60°，
∴△PBM是等邊三角形，
∵∠CMB=120°，
∴∠CMB=∠APB，
∴△APB≌△CMB，
∴PC=AP+PB；
方法三：（略證）如圖4，以A為圓心，A為半徑畫圓交CP于N，連接AN，
先證△APN是等邊三角形，再證△ANC≌△APB，
從而PC=AP+PB．

點評：本題考查的是三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質及直角三角形的性質，重點是理解外心的定義，此題難度較大．