Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AC、BC為弦，點P為上一點，AB=10，AC∶BC=3∶4。

（1）當點P與點C關于直線AB對稱時（如圖①），求PC的長；
（2）當點P為的中點時（如圖②），求PC的長。

Answer 1

解：（1）在⊙O中，如圖①， ∵AB是直徑， ∴∠ACB=90°， ∵點P與點C關于AB對稱， ∴PC⊥AB，且CD=DP， ∴由三角形面積得：CD·AB=AC·BC， ∵AB=10，AC∶BC=3∶4， ∴由勾股定理求得AC=6，BC=8 ∴CD==4.8， ∴PC=2CD=9.6；
（2）過點B作BE⊥PC于點E，連結PB， 由（1）得AC=6，BC=8 ∵點P為的中點， ∴∠ACP=∠BCP=45° 在Rt△BEC中，可求得CE=BE=， ∵∠A=∠P，∠ACB=∠BEC=90°， ∴tan∠P=tan∠A， ∴， ∴， ∴PC=CE+EP=。	圖②