Question

已知：圖1為一銳角是30°的直角三角尺，其邊框為透明塑料制成（內、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等）．
操作：將三角尺移向直徑為4cm的⊙O，它的內Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′恰好與⊙O相切（如圖2）．
思考：
（1）求直角三角尺邊框的寬．
（2）求證：∠BB′C′+∠CC′B′=75°．
（3）求邊B′C′的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC與A′C′，根據與平行線中的一條直線垂直，與另一條也垂直，得到OD與AC垂直，可得DE為三角尺的寬，由A′C′與圓O相切，根據切線的性質得到OD為圓的半徑，根據直徑AB的長，求出半徑OA，OB及OD的長，在直角三角形AOE中，根據∠A=30°，利用直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的長求出OE的長，再由OD-OE求出DE的長，即為三角尺的寬．
（2）有題意可知三角板的寬度是一樣大，所以BB′平分∠A′B′C′，C C′平分∠A′C′B′，因為∠A′B′C′=60°，∠A′C′B′=90°，所以∠BB′C′=30°，∠CC′B′=45°，所以∠BB′C′+∠CC′B′=75°；
（3）設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，則有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，可計算出MN=AM+AC+CN=3+2，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三邊的關系得到B′N=NM=+2，則B′C′=B′N+NC′=+3．
解答：解：（1）過O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，
∵AC∥A′C′，
∴AC⊥OD，
∵A′C′與⊙O相切，AB為圓O的直徑，且AB=4cm，
∴OD=OA=OB=AB=×4=2（cm），
在Rt△AOE中，∠A=30°，
∴OE=OA=×2=1（cm），
∴DE=OD-OE=2-1=1（cm）
則三角尺的寬為1cm；
（2）∵三角板的寬度是一樣大，
∴BB′平分∠A′B′C′，C C′平分∠A′C′B′，
∵∠A′B′C′=60°，∠A′C′B′=90°，
∴∠BB′C′=30°，∠CC′B′=45°，
∴∠BB′C′+∠CC′B′=75°；
（3）設直線AC交A′B′于M，交B′C′于N，過A點作AH⊥A′B′于H，
則有∠AMH=30°，AH=1，得到AM=2AH=2，
∴MN=AM+AC+CN=3+2，
在Rt△MB′N中，∵∠B′MN=30°，
∴B′N=NM=+2，則B′C′=B′N+NC′=+3．
∴B′C′=3+．
點評：本題考查了切線的性質，含30°直角三角形的性質，以及平行線的性質，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．