Question

【題目】在△ABC中，P為邊AB上一點．

(1)如圖l，若∠ACP=∠B，求證：AC2 =AP·AB；

(2)若M為CP的中點，AC=2，如圖2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）由已知條件易證△ACP∽△ABC，由此可得AC:AB=AP:AC，即：AC2=AP·AB；

（2）過點C作CQ∥BM交AB延長線于Q，由平行線分線段成比例結合點M是PC的中點可得BP=BQ，設BP= ，則可得BQ = ，AP= ，AQ= ；再證△APC∽△ACQ可得AC2 =AP·AQ，即，解方程即可求得BP的長.

試題解析：

（1）∵∠ACP=∠B，∠BAC=∠CAP，

∴△ACP∽△ABC，

∴AC：AB=AP：AC，

∴AC2=AP·AB；

（2）如下圖，作CQ∥BM交AB延長線于Q，

又∵點M是PC的中點，

∴PB：BQ=PM：MC=1，

設BP= ，則BQ = ，

∵AB=3，

∴AP= ，AQ= ，

∵∠PBM=∠ACP，∠PAC= ∠CAQ，

∴△APC∽△ACQ，

∴AC：AQ=AP：AC，

∴AC2 =AP·AQ，即，

解得： （不合題意，舍去），

即BP的長為.