Question

已知二次函數y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2．
（1）二次函數的頂點在x軸上，求k的值；
（2）若二次函數與x軸的兩個交點A、B均為整數點（坐標為整數的點），當k為整數時，求A、B兩點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的定義及△=0列出不等式組，求出k的值即可；
（2）令（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0，設二次函數與x軸的兩個交點A、B為x₁，x₂，由于A、B均為整數點，則x₁，x₂為整數，
根據一元二次方程根與系數的關系即可求出k的整數值，代入原方程即可求出A、B兩點的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數y=（k²-1）x²-（3k-1）x+2的頂點在x軸上，
∴此函數的圖象與x軸有一個交點，
∴

k2-1≠0 △=(3k-1)2-8(k2-1)=0

，解得k=3；
（2）令（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0，設二次函數與x軸的兩個交點A、B為x₁，x₂，
∵A、B均為整數點，
∴x₁，x₂為整數，
∴x₁•x₂為整數，
∵x₁•x₂=

2

k2-1

，
∵k為整數，
∴k=0，
把k=0代入方程（k²-1）x²-（3k-1）x+2=0得，x²-x-2=0，
解得，x₁=-1，x₂=2．
∴A、B兩點的坐標分別為（-1，0）、（2，0）．
故答案為：k=0，A（-1，0）、B（2，0）．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點，熟知拋物線與x軸的交點與一元二次方程根的關系是解答此題的關鍵．