Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，N為邊AD上一點，連接BN．過點A作AP⊥BN于點P，連接CP，M為邊AB上一點，連接PM，∠PMA＝∠PCB，連接CM，有以下結論：①△PAM∽△PBC；②PM⊥PC；③M、P、C、B四點共圓；④AN＝AM．其中正確的個數為（　　）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據互余角性質得∠PAM＝∠PBC，進而得△PAM∽△PBC，可以判斷①；

由相似三角形得∠APM＝∠BPC，進而得∠CPM＝∠APB，從而判斷②；

根據對角互補，進而判斷③；

由△APB∽△NAB得，再結合△PAM∽△PBC便可判斷④．

解：∵AP⊥BN，

∴∠PAM+∠PBA＝90°，

∵∠PBA+∠PBC＝90°，

∴∠PAM＝∠PBC，

∵∠PMA＝∠PCB，

∴△PAM∽△PBC，

故①正確；

∵△PAM∽△PBC，

∴∠APM＝∠BPC，

∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，

故②正確；

∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，

∴B、C、P、M四點共圓，

∴∠MPB＝∠MCB，

故③正確；

∵AP⊥BN，

∴∠APN＝∠APB＝90°，

∴∠PAN+∠ANB＝90°，

∵∠ANB+∠ABN＝90°，

∴∠PAN＝∠ABN，

∵∠APN＝∠BPA＝90°，

∴△PAN∽△PBA，

∴，

∵△PAM∽△PBC，

∴，

∴，

∵AB＝BC，

∴AM＝AN，

故④正確；

故選：A．