Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF=120°．
（1）當點E是AB的中點時，線段DF的長度是    ；
（2）若射線EF經過點C，則AE的長是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）過E點作EG⊥DF，由E是AB的中點，得出DG=3，再根據∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由tan60°=即可求出GF的長，進而得出結論；
（2）過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CM⊥AB于F，則BH=AD=，再由銳角三角函數的定義求出CH及BC的長，設AE=x，則BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的長，再判斷出△EDF∽△BCE，由相似三角形的對應邊成比例即可得出關于x的方程，求出x的值即可．
解答：解：（1）如圖1，過E點作EG⊥DF，
∵E是AB的中點，
∴DG=3，
∴EG=AD=，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=，
解得GF=3，
∴DF=6；


（2）如圖2所示：
過點B作BH⊥DC，延長AB至點M，過點C作CM⊥AB于M，則BH=AD=MF=，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM===1，
設AE=x，則BE=6-x，
在Rt△EFM中，EF===，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE
∴=，
∴EF²=DF•BE，即（7-x）²+3=7（6-x）
解得x=2或5
故答案為：2或5．
點評：本題考查了解直角梯形及相似三角形的判定與性質，勾股定理，特殊角的三角函數值等，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，利用數形結合求解．