Question

在平面直角坐標系中,過一點分別作坐標軸的垂線,若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等,則這個點叫做和諧點．例如,圖中過點P分別作x軸,y軸的垂線．與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等,則點P是和諧點．

（1）判斷點M（l，2）,N（4，4）是否為和諧點,并說明理由；
（2）若和諧點P（a，3）在直線y=﹣x+b（b為常數）上,
求a，b的值．

Answer 1

（1）點M不是和諧點，點N是和諧點（2）a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3解析:
解：（1）∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），
∴點M不是和諧點，點N是和諧點．  ………… 4分
（2）由題意得：當a＞0時，（a+3）×2=3a， ∴a=6，
點P（a，3）在直線 y=﹣x+b上，代入得：b=9   ………… 6分
當a＜0時，（﹣a+3）×2=﹣3a， ∴a=﹣6，
點P（a，3）在直線y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，
∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．………… 8分
根據和諧點的定義解答