Question

如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，將△DEF繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止．現(xiàn)不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點，如圖(2)

 

 

 

 

 

（1）問：始終與△AGC相似的三角形有     及    ；

（2）設CG=x，BH=y，求y關于x的函數(shù)關系式（只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由）

（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形.

 

Answer 1

解：（1）△HAB ，△HGA。

          （2）∵△AGC∽△HAB，∴，即。

               ∴。

               又∵BC=。

               ∴y關于x的函數(shù)關系式為。

          （3）①當∠GAH= 45°是等腰三角形.的底角時，如圖1，

                  可知。

               ②當∠GAH= 45°是等腰三角形.的頂角時, 如圖2，

                 在△HGA和△AGC中

                 ∵∠AGH=∠CGA，∠GAH=∠C=45⁰，

                 ∴△HGA∽△AGC。

                 ∵AG=AH，∴

               ∴當或時，△AGH是等腰三角形。

解析:（1）在△AGC和△HAB中，

           ∵∠AGC=∠B+∠BAG=∠B+90⁰—∠GAC=135⁰—∠GAC，

             ∠BAH=∠BAC+∠EAF—∠EAC=90⁰+45⁰—∠GAC，

           ∴∠AGC=∠BAH。

           又∵∠ACG=∠HBA=45⁰，∴△AGC∽△HAB。

           在△AGC和△HGA中，

           ∵∠CAG=∠EAF—∠CAF=45⁰—∠CAF，

              ∠H=180⁰-∠ACH—∠CAH=180⁰—135⁰—∠CAF=45⁰—∠CAF，

            ∴∠CAG=∠H。

            又∵∠AGC=∠HGA，∴△AGC∽△HGA。

       （2）利用△AGC∽△HAB得對應邊的比即可得。

       （3）考慮∠GAH是等腰三角形.底角和頂角兩種情況分別求解即可。