Question

 

（1）探究新知：

①如圖，已知AD∥BC，AD＝BC，點M，N是直線CD上任意兩點．

求證：△ABM與△ABN的面積相等． 

②如圖，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．  

（2）結論應用：   

如圖③，拋物線的頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點D．試探究在拋物線上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？ 若存在，請求出此時點E的坐標，若不存在，請說明理由．

﹙友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結論．﹚    

 

Answer 1

【答案】

 

（1）①略

②相等．理由略

（2）存在，E點的坐標為E1（2，3）；；

【解析】（本小題滿分12分）

﹙1﹚①證明：分別過點M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點E，F．

∵ AD∥BC，AD＝BC，

∴ 四邊形ABCD為平行四邊形．  

∴ AB∥CD．  

∴ ME= NF．   

∵S△ABM＝，S△ABN＝，

∴ S△ABM＝ S△ABN．   ……………………………………………………………………1分

②相等．理由如下：分別過點D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K．

則∠DHA=∠EKB=90°．

∵ AD∥BE，

∴ ∠DAH=∠EBK． 

∵ AD＝BE， 

∴ △DAH≌△EBK． 

∴ DH=EK．  ……………………………2分

∵ CD∥AB∥EF，   

∴S△ABM＝，S△ABG＝， 

∴  S△ABM＝ S△ABG.  …………………………………………………………………3分

﹙2﹚答：存在．  …………………………………………………………………………4分

解：因為拋物線的頂點坐標是C(1，4)，所以，可設拋物線的表達式為.

又因為拋物線經過點A(3，0)，將其坐標代入上式，得，解得.

∴ 該拋物線的表達式為，即．  ………………………5分

∴ D點坐標為（0，3）．

設直線AD的表達式為，代入點A的坐標，得，解得.

∴ 直線AD的表達式為．  

過C點作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點H．則H點的縱坐標為．

∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．  …………………………………………………………6分

設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為．   

過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點P，則點P的縱坐標為，EF∥CG．

由﹙1﹚可知：若EP＝CH，則△ADE與△ADC的面積相等．

①若E點在直線AD的上方﹙如圖③-1﹚，則PF=，EF＝．

∴ EP＝EF－PF＝=． 

∴ ． 

解得，． ……………………………7分 

當時，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． 

∴ E點坐標為（2，3）．  

同理 當m=1時，E點坐標為（1，4），與C點重合．  ………………………………8分

②若E點在直線AD的下方﹙如圖③－2,③－3﹚，

則．  ……………………………………………9分

∴．解得，．   ………………………………10分

當時，E點的縱坐標為；   

當時，E點的縱坐標為．  

∴ 在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標為E1（2，3）；；．  ………………12分

﹙其他解法可酌情處理﹚