Question

（2010•泰州）如圖，⊙O是O為圓心，半徑為的圓，直線y=kx+b交坐標軸于A、B兩點．
（1）若OA=OB
①求k；
②若b=4，點P為直線AB上一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別為C、D，若∠CPD=90°，求點P的坐標；
（2）若，且直線y=kx+b分⊙O的圓周為1：2兩部分，求b．

Answer 1

【答案】分析：（1）①由OA=OB，設出A、B兩點坐標代入直線y=kx+b即可求得k；
②由題意得，Rt△POC≌Rt△POD∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°算出OP的長，則P點坐標即可確定；
（2）根據題意，當直線被⊙O切割的弦長對應的劣弧的圓心角為120°時，求出b即可．
解答：解：（1）①由OA=OB，設A點坐標（a，0），則點B的坐標（0，a），
把這兩點代入直線的解析式y=kx+b得：，
解得：k=-1．
②由題意得，Rt△POC≌Rt△POD，
∴∠CPO=∠DPO=∠CPD=45°，OP=OC=R=，
又∵直線的函數解析式y=-x+4，
故設P點坐標（x，-x+4）
OP==，解得：x=1或3
∴P（1，3）或（3，1）
（2）由題意得，當直線被切割的弦所對的圓周角為120°時，
弦長為2Rsin60°=R時，弦分圓周為1：2，符合題意，
聯立直線和圓的方程得，

將①代入②消去y得x²+（-+b）²=5，即x²-bx+b²-5=0
利用根與系數的關系可得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²-b²+16=-b²+16，
將①代入②消去x得 （2b-2y）²+y²=5，即5y²-8by+4b²-5=0
利用根與系數的關系可得（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=b²-b²+16=-b²+16，
將解得的兩交點坐標用兩點間距離公式得=
解得：b=±．
點評：本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，題中運用圓與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．