Question

如圖，拋物線y＝a(x＋1)(x－5)與x軸的交點為M、N．直線y＝kx＋b
與x軸交于P(－2，0)，與y軸交于C．若A、B兩點在直線y＝kx＋b上，且AO=BO=，AO⊥BO．D為線段MN的中點，OH為Rt△OPC斜邊上的高．
【小題1】OH的長度等于___________；k＝___________，b＝____________；
【小題2】是否存在實數a，使得拋物線y＝a(x＋1)(x－5)上有一點E，滿足以D、N、E為頂點的三角形與△AOB相似?若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(簡要說明理由)；并進一步探索對符合條件的每一個E點，直線NE與直線AB的交點G是否總滿足PB·PG＜，寫出探索過程．

Answer 1

【小題1】OH＝1；k＝，b＝
【小題2】存在。略
【小題3】解析:
此題是關于函數的綜合題，有一定難度。
解：(1)OH＝1；k＝，b＝； （各1分）
(2)設存在實數a，是拋物線y＝a(x＋1)(x－5)上有一點E，滿足以D、N、E為頂點的三角形與等腰直角△AOB相似∴以D、N、E為頂點的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以DN為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以DN為斜邊的等腰直角三角形．
①若DN為等腰直角三角形的直角邊，則ED⊥DN．
由拋物線y＝a(x＋1)(x－5)得：M(－1，0)，N(5，0)
∴D(2，0)，∴ED＝DN＝3，∴E的坐標是(2，3)．
把E(2，3)代入拋物線解析式，得a＝
∴拋物線解析式為y＝(x＋1)(x－5)
即y＝x²＋x＋              （2分）
②若DN為等腰直角三角形的斜邊，則DE⊥EN，DE＝EN．
∴E的坐標為(3.5，1.5)
把E(3.5，1.5)代入拋物線解析式，得a＝．
∴拋物線解析式為y＝(x＋1)(x－5)，即y＝x²＋x＋     （2分）
當a＝時，在拋物線y＝x²＋x＋上存在一點E(2，3)滿足條件，如果此拋物線上還有滿足條件的E點，不妨設為E’點，那么只有可能△DE’N是以DN為斜邊的等腰直角三角形，由此得E’(3.5，1.5)．顯然E’不在拋物線y＝x²＋x＋上，因此拋物線y＝x²＋x＋上沒有符合條件的其他的E點．         （1分）
當a＝時，同理可得拋物線y＝x²＋x＋上沒有符合條件的其他的E點．
(1分)
當E的坐標為(2，3)，對應的拋物線解析式為y＝x²＋x＋時．
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，∴∠GNP＝∠PBO＝45°．
又∵∠NPG＝∠BPO，∴△NPG∽△BPO．
∴，∴PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴總滿足PB·PG＜．   （2分）
當E的坐標為(3.5，1.5)，對應的拋物線解析式為y＝x²＋x＋時，
同理可證得：PB·PG＝PO·PN＝2×7＝14，∴總滿足PB·PG＜．