Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別為y₁（萬元）和y₂（萬元），它們與投入資金u的關系式為y₁=，y₂=u．如果將3萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲商品的投資為x（萬元）．
（1）求經營甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）設=t，試寫出y關于t的函數關系式，并求出經營甲、乙兩種商品各投入多少萬元時使得總利潤最大．

Answer 1

【答案】分析：（1）對甲種商品投資x（萬元），對乙種商品投資（3-x）（萬元），根據經驗公式可得甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；
（2）利用配方法確定函數的對稱軸，結合函數的定義域，即可求得總利潤y的最大值．
解答：解：（1）由已知y₁=，y₂=（3-x），
∴y=y₁+y₂=+（3-x），
自變量x的取值范圍為：0≤x≤3．     

（2）∵=t，∴x=t²，
∴y=+（3-t²）=-t²++=-（ t-）²+，
∴當t=時，y取最大值．                              
由t=得，x=，∴3-x=，
即：經營甲、乙兩種商品分別投入、萬元時，使得總利潤最大．
點評：本題考查了函數模型的構建以及配方法求函數的最值，體現用數學知識解決實際問題，屬于基礎題．