Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使EF=AE，連接FB，FC．

（1）求證：四邊形ABFC是菱形；

（2）若AD=7，BE=2，求半圓和菱形ABFC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）8π，8

【解析】

（1）根據對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，證明是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

（2）設CD=x，連接BD．利用勾股定理構建方程即可解決問題；

（1）證明：∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∴AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴BE=CE，

∵AE=EF，

∴四邊形ABFC是平行四邊形，

∵AC=AB，

∴四邊形ABFC是菱形．

（2）設CD=x．連接BD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴AB2-AD2=CB2-CD2，

∴（7+x）2-72=42-x2，

解得x=1或-8（舍棄）

∴AC=8，BD==，

∴S菱形ABFC=AC×BD=8．

∴S半圓=π42=8π．