Question

如圖①，直線AM⊥AN，⊙O分別與AM、AN相切于B、C兩點，連接OC、BC，則有∠ACB=∠OCB；（請思考：為什么？）如果測得AB=a，則可知⊙O的半徑r=a．（請思考：為什么？）
（1）將圖①中直線AN向右平移，與⊙O相交于C₁、C₂兩點，⊙O與AM的切點仍記為B，如圖②．請你寫出與平移前相應的結論，并將圖②補充完整；判斷此結論是否成立，且說明理由．
（2）在圖②中，若只測得AB=a，能否求出⊙O的半徑r？若能求出，請你用a表示r；若不能求出，請補充一個條件（補充條件時不能添加輔助線，若補充線段請用b表示，若補充角請用α表示），并用a和補充的條件表示r．

Answer 1

分析：（1）平移后點C變成兩個點，所以只要把結論中的C換成C₁、C₂即可；
（2）移動前，半徑OB等于AC，而AC的長等于AB，移動后半徑等于點A到線C₁C₂的中點的長而C₁C₂不確定，所以不能．可以補充AC₁的長，先根據切線長定理求出C₁C₂．

解答：解：（1）圖②中相應結論為∠AC₁B=∠OC₁B和∠AC₂B=∠OC₂B．（2分）
先證∠AC₁B=∠OC₁B．
連接OB、OC₁，
∵AM與⊙O相切于B，
∴OB⊥AM；
∵AN⊥AM，
∴OB∥AN，
∴∠AC₁B=∠OBC₁；
∵OB=OC₁，
∴∠OBC₁=∠OC₁B，
∴∠AC₁B=∠OC₁B．
同理可證∠AC₂B=∠OC₂B．（4分）

（2）若只測得AB=a，不能求出⊙O的半徑r．（5分）
補充條件：另測得AC₁=b．（6分）
作OD⊥C₁C₂，則C₁D=C₂D．
∵AB²=AC₁•AC₂，∴AC₂=

a2

b

．
∴C₁C₂=AC₂-AC₁=

a2

b

-b=

a2-b2

b

．
∴C₁D=

1

2

C₁C₂=

a2-b2

2b

．
故r=OB=AD=AC₁+C₁D=b+

a2-b2

2b

=

a2+b2

2b

．（10分）
說明：1．①若補充條件：另測得AC₁=b，則r=

a2+b2

2b

；
②若補充條件：另測得C₁C₂=b，則r=

4a2+b2

2

；
③若補充條件：另測得BC₁=b，則r=

b2 b2-a2

2(b2-a2)

；
④若補充條件：另測得∠ABC₁=α，則r=

a

2sinαcosα

．
2．以上答案供參考，若有其他答案，只要正確，都應給分．

點評：此題是一道信息給予題，按照所給信息，把結論中的相應字母進行更換就可以；判斷是否可以，只要分析一下移動后對結論是否影響，有影響則不能求出，否則就能求出．