Question

如圖已知有一塊圓形鐵皮⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，連接AD、BC、OC，且OC=10．
（1）若BE=2，求CD的長；
（2）若∠OCD=4∠BCD，求陰影部分的面積（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）先根據垂徑定理得出CD=2CE，由OC=10，BE=2求出OE的長，在Rt△OAE中利用勾股定理即可求出CE的長；
（2）由圓周角定理得出∠AOC=2∠ABC，根據OC=OB可知∠OCD+∠BCD=∠OBC，根據∠BCE+∠OBC=90°可求出∠OBC的度數，進而得出∠AOC的度數，再根據扇形的面積公式進行解答即可．

解答：解：（1）∵⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，
∴CD=2CE，∠OEC=90°，
∵OC=10，BE=2，
∴OE=10-2=8，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，即10²=8²+CE²，解得CE=6，
∴CD=2CE=2×6=12；

（2）∵OC=OB，
∴∠OCD+∠BCD=∠OBC，
∵∠BCE+∠OBC=90°，即6∠BCE=90°，
∴∠BCE=15°，
∴∠OBC=90°-15°=75°，
∴∠AOC=2∠OBC=2×75°=150°，
∴S_陰影=

150π×102

360

=

125π

3

．

點評：本題考查的是扇形面積的計算，垂徑定理及圓周角定理，直角三角形的性質，熟知以上知識是解答此題的關鍵．