Question

如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，圓心在AC上，∠A=30°，D為BC的中點．
（1）求證：AB=BC；
（2）求證：四邊形BOCD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是⊙O的切線，∠A=30°，易求得∠OC的度數，繼而可得∠B=∠OCB=30°，又由等角對等邊，證得AB=BC；
（2）首先連接OD，易證得△BOD與△COD是等邊三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可證得四邊形BOCD是菱形．
解答：證明：（1）∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°，
∴∠A=∠OCB，
∴AB=BC；

（2）連接OD，
∵∠AOB=60°，
∴∠BOC=120°，
∵D為BC的中點，
∴=，∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD=OC，
∴△BOD與△COD是等邊三角形，
∴OB=BD=OC=CD，
∴四邊形BOCD是菱形．
點評：此題考查了切線的性質、等腰三角形的性質、菱形的判定以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．