Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于原點O和點A（6，0），拋物線的頂點為B．

（1）求該拋物線的解析式和頂點B的坐標；

（2）若動點P從原點O出發，以每秒1個長度單位的速度沿線段OB運動，設點P運動的時間為t（s）．問當t為何值時，△OPA是直角三角形？

（3）若同時有一動點M從點A出發，以2個長度單位的速度沿線段AO運動，當P、M其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設它們的運動時間為t（s），連接MP，當t為何值時，四邊形ABPM的面積最小？并求此最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x，（3，3）；（2）t＝3時，△OPA是直角三角形；（3）當t＝時，四邊形ABPM的面積取最小值，最小值為

【解析】

（1）根據點O，A的坐標，利用待定系數法可求出二次函數的解析式，再將二次函數解析式由一般式變形為頂點式，即可得出頂點B的坐標；

（2）由點B的坐標，利用待定系數法可求出直線OB的解析式，過點P作PC⊥x軸于點C，設點P的坐標為（x，x），則點C的坐標為（x，0），由tan∠POC＝可得出∠POC＝60°，結合OA的值可找出當∠APO＝90°時OP的長，由點P的運動速度為1可求出此時t的值；

（3）當運動時間為t時，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t，結合點P，M的運動速度可得出0≤t≤3，由S四邊形ABPM＝S△ABO﹣S△POM可得出四邊形ABPM的面積關于t的函數關系式，再利用二次函數的性質即可解決最值問題．

解：（1）將O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x．

∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，

∴頂點B的坐標為（3，3）．

（2）設直線OB的解析式為y＝kx，

將B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，

解得：k＝，

∴直線OB的解析式為y＝x．

過點P作PC⊥x軸于點C，如圖1所示．

設點P的坐標為（x，x），則點C的坐標為（x，0）．

∵tan∠POC＝＝，

∴∠POC＝60°．

當∠APO＝90°，則cos∠POC＝＝，

∴OP＝3．

∵OP＝1×t＝3，

∴t＝3．

（3）當運動時間為t時，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t．

∵當P、M其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動，

∴0≤t≤3．

S四邊形ABPM＝S△ABO﹣S△POM，

＝OAyB﹣OMPC，

＝×6×3﹣×（6﹣2t）×t，

＝t2﹣t+9，

＝（t﹣）2+．

∵＞0，

∴當t＝時，四邊形ABPM的面積取最小值，最小值為．