Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，線段AB的端點坐標分別為A（0，6）、B（6，6）．點Q在線段AB上，以Q為項點的拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點D，與x軸的一個交點為C．設點Q的橫坐標為m，點C的橫坐標為n（n＞m）．

（1）當m＝0時，求n的值．

（2）求線段AD的長（用含m的式子表示）；

（3）點P（2，0）在x軸上，設△BPD的面積為S，求S與m的關系式；

（4）當△DCQ是以QC為直角邊的直角三角形時，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）n＝3；（2）AD＝；（3）S與m的關系式為；（4）當m＝或時，△DCQ是以QC為直角邊的直角三角形．

【解析】

（1）先求拋物線表達式，當y＝0時，可求n的值；

（2）先求拋物線解析式，可求點D坐標，即可求AD的長；

（3）如圖1，延長BP交y軸于點M，通過證明△MOP∽△MAB，可得，可得，OM＝3，AM＝9．分兩種情況討論，由面積關系可求解；

（4）分兩種情況討論，由相似三角形的性質可求解．

解：（1）當m＝0時，點Q坐標為（0，6），

∴拋物線表達式為y＝ax2+6．

根據題意可知，

∴拋物線表達式為．

當y＝0時，，

解得x＝±3．

由題意n＞m，

∴n＝3；

（2）∵點Q坐標為（m，6），

∴拋物線表達式為．

當x＝0時，．

∴點D坐標為（0，），

∵點A坐標為（0，6），

∴AD＝；

（3）如圖1，延長BP交y軸于點M，

∵OP∥AB，

∴△MOP∽△MAB，

∴．

∴

∵AO＝6，

∴OM＝3，AM＝9．

當AD＜AM，即時，

S＝＝．

當AD＞AM，即時，

S＝＝．

綜上，S與m的關系式為

（4）如圖2，過點Q作QH⊥OC，

∵點Q坐標為（m，6），

∴拋物線表達式為．

當x＝0時，．

∴點D坐標為（0，）．

∴OD＝m2﹣6，

當y＝0時，0＝﹣（x﹣m）2+6，

∴x1＝3+m，x2＝﹣3+m，

∴點C（3+m，0）

∴OC＝3+m，CH＝3，

∵∠OCD＝90°，

∴∠OCQ+∠OCD＝90°，且∠OCQ+∠CQH＝90°，

∴∠CQH＝∠DCO，且∠QHC＝∠COD＝90°，

∴△CQH∽△DCO，

∴，

∴，

∴m1＝﹣3（不合題意舍去），m2＝，

如圖3，過點Q作QH⊥OC，

同理可證△ADQ∽△HCQ，

∴

∴

∴m1＝0（不合題意舍去），m2＝，

綜上所述：當m＝或時，△DCQ是以QC為直角邊的直角三角形．