Question

【題目】如圖，是⊙的直徑，是⊙的一條弦，，的延長線交⊙于點，交的延長線于點，連接，且恰好∥，連接交于點，延長交于點，連接．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）求證：點是的中點；

（3）當⊙的半徑為時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）=．

【解析】

（1）根據∥，可證FA⊥AB，則可得是⊙的切線；

（2）連接，易證△GEA∽△GAB，可得，根據∥，可得，即有，可證點是的中點；

（3）利用∥，得：，易證DE=BH，根據點O是CE中點，點H是CD的中點，得，有OH=2，CH=，可求得=tan∠OCH =.

（1）證明：∵是⊙的直徑，是⊙的一條弦，

∴AB⊥CD，又∥，

∴FA⊥AB，

∴是⊙的切線.

（2）證明：連接，

∵是⊙的直徑，

∴AE⊥BG．又FA⊥AB，

∴∠GEA=∠GAB，

又∵∠GBA=∠ABG.

∴△GEA∽△GAB，

∴

∵∥，

∴∠C=∠EFG，又∠C=∠FBE．

∴∠EFG=∠FBG，又∠FGE=∠BGF.

∴△EFG∽△FBG，

∴

，

∴點是的中點；

（3）解：∵∥，∴．

又∵GF=GA，∴DP=HP.

又∵CE是⊙的直徑，D在圓上∴CD⊥DE，

又∵AB⊥CD于點H，

∴點H是CD的中點，AB∥DE，

又∵DP=HP，

∴DE=BH，

又∵點O是CE中點，點H是CD的中點，

∴

又∵⊙的半徑為6，

∴OH=2，CH=，

∴=tan∠OCH =