Question

如圖，∠AOB=45°，過OA上到點(diǎn)O的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點(diǎn)作OA的垂線與OB相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯形，它們的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，…．觀察圖中的規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）個(gè)黑色梯形的面積S_n為（ ）

A．4n
B．4（2n-1）
C．4（n+1）
D．3n+2

Answer 1

【答案】分析：由∠AOB=45°及題意可得出圖中的三角形都為等腰直角三角形，
法1：觀察圖形，發(fā)現(xiàn)：圖形中三角形都是等腰直角三角形，且黑色梯形的高總是2；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，分別表示出黑色梯形的上下底，找出第n個(gè)黑色梯形的上下底，利用梯形的面積公式即可表示出第n個(gè)黑色梯形的面積；
法2：找出第一個(gè)黑色梯形的上下底，利用梯形面積公式計(jì)算得到S₁的值，同理得到S₂，S₃，以此類推，表示出S_n．
解答：解：∵∠AOB=45°，
∴圖形中三角形都是等腰直角三角形，
法1：從圖中可以看出，黑色梯形的高總是2，
第一個(gè)黑色梯形的上底為1，下底為3，
第2個(gè)黑色梯形的上底為5=1+4，下底為7=1+4+2，
第3個(gè)黑色梯形的上底為9=1+2×4，下底為11=1+2×4+2，
則第n個(gè)黑色梯形的上底=1+（n-1）×4，下底=1+（n-1）×4+2，
∴第n個(gè)黑色梯形的面積為×2×[1+（n-1）×4+1+（n-1）×4+2]=8n-4=4（2n-1）；
法2：根據(jù)圖可知：S₁=4，S₂=12，S₃=20，
以此類推得Sn=8n-4=4（2n-1）．
故選B
點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)，屬于規(guī)律型的題，解決此題的關(guān)鍵是能夠結(jié)合圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，找到第n個(gè)黑色梯形的上底=1+（n-1）×4，下底=1+（n-1）×4+2．