Question

【題目】如圖1，已知拋物線的方程C1： (m＞0)與x軸交于點B、C，與y軸交于點E，且點B在點C的左側．

（1）若拋物線C1過點M(2, 2)，求實數m的值；

（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；

（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H，使得BH＋EH最小，求出點H的坐標；

（4）在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F，使得以點B、C、F為頂點的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；(3) ；(4) ．

【解析】試題分析：（1）把M（2,2）代入函數解析式即可；（2）把代回函數解析式，求出點B、C、E的坐標即可；（3）連接CE交對稱軸與點H，此時BH+EH的值最小；（4）①過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．由于∠BCE＝∠FBC△BCE∽△FBC，②作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，由于∠EBC＝∠CBF，△BCE∽△BFC

試題解析：（1）將M(2, 2)代入，得．解得．

（2）當時， ．所以C(4, 0)，E(0, 2)，B（-2,0）．

所以S△BCE＝．

（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x＝1，當H落在線段EC上時，BH＋EH最小．

設對稱軸與x軸的交點為P，那么．

因此．解得．所以點H的坐標為．

（4）①如圖3，過點B作EC的平行線交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′．

由于∠BCE＝∠FBC，所以當，即時，△BCE∽△FBC．

設點F的坐標為，由，得．

解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)．

由，得．所以．

由，得．

整理，得0＝16．此方程無解．

圖2 圖3 圖4

②如圖4，作∠CBF＝45°交拋物線于F，過點F作FF′⊥x軸于F′，

由于∠EBC＝∠CBF，所以，即時，△BCE∽△BFC．

在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．

解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2， ．

由，得．解得．

綜合①、②，符合題意的m為．