Question

在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O為△ABC的外接圓，P為上任一點，則四邊形OABP的周長的最大值________cm．

1. A.
   20
2. B.
   
3. C.
   25
4. D.
   不能確定

Answer 1

B
分析：四過邊形OABP的周長為OA+AB+BP+OP，在這四條線段中OA、OC是半徑是定值，AB是定值5，故周長要想最大，則BP的值最大，其位置應在點C處，即求得BC的長為BP的最大值．過點B作BD⊥AC于D，連接OB，OC，先根據直角三角形ABD求出BD的長，再根據直角三角形BDC求出BC的長，根據圓周角和圓心角之間的關系可求得△OBC是等腰直角三角形，可求出半徑的長，從而求得四邊形的最大周長．
解答：解：過點B作BD⊥AC于D，連接OB，OC
∵AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°
∴BD=sin45°•AB=（cm），
∵∠ACB=30°，
∴BC=2BD=5（cm），
∵∠BOC=2∠A=90°，
∴OB=OC=5cm，
∵OA，AB，OP是定值，
∴當點P在點C的位置時，四邊形OABP的周長最大為：5+5+5+5=（15+5）cm．
故選B．
點評：此題考查了圓周角定理．此題難度較大，解題的關鍵是找到不變的量和變化的量，通過確定變量的最值來確定周長的最值．